makalah fungsi linear matematika ekonomi dan bisnis

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

Hubungan sebab akibat antara beragai variabel ekonomi, misalnya antara permintaan dan harga, antara investasi dan tingkat bunga, dapat dengan mudah dinyatakan serta diterangkan dalam bentuk fungsi. Di antara berbagai macam hubungan fungsional yang ada, hubungan linear merupaka entuk yang paling dasar dan paling sering digunakan dalam analisis ekonomi. Bab ini menguraikan segala hal yang berkenaan dengan fungsi linear atau persamaan linear, serta model –model hubungan ekonomi yang mendsarkan diri padabentuk hubungan linear.

Fungsi linier adalah fungsi yang paling sederhana karena hanya mempunyai satu variabel bebas dan berpangkat satu pada variabel bebas tersebut, sehingga sering disebut sebagai fungsi berderajad satu. Bentuk umum persamaan linier adalah: y = a + bx; dimana a adalah konstanta dan b adalah koefisien (b?0). Atau sering dinyatakan dalam bentuk implicit berikut: Ax + By + C = 0. Disamping itu jugs, fungdi ini merupakan dasar untuk mempelajari fungsi – fungsi lainnya yang lebih rumit dalam penyelesaiannya.

1.2  Rumusan Masalah

1.2.1        Bagaimana Kemiringan dan titik potong sumbu pada hubungan linear ?

1.2.2        Bagaimana bentuk umum fungsi linear ?

1.2.3        Bagaimana untuk menentukan persamaan garis lurus?

1.2.4        Bagaimana hubungan dua garis lurus pada hubungan linear ?

1.2.5        Bagaimana penjelasan penggal dan lereng garis lurus terhadap hubungan linear ?

1.2.6        Bagaimana pembentukan persamaan linear ?

1.2.7        Apa saja cara yang digunakan dalam pencarian dua garis lurus ?

1.2.8        Bagaimana pencarian akar – akar dalam persamaan linear ?

BAB 2

PEMBAHASAN

2.1 Kemiringan dan Titik Potong Sumbu
Sesuai dengan namanya fungsi linier jika digambarkan pada koordinat cartesius akan berbentuk garis lurus (linier). Kemiringan pada setiap titik yang terletak pada garis lurus tersebut adalah sama. Hal ini ditunjukkan oleh koefisien b pada persamaan y = a + bx. Koefisien ini untuk mengukur perubahan nilai variabel terikat y sebagai akibat dari perubahan variabel bebas x sebesar satu unit. Sedangkan a adalah penggal garis pada sumbu vertikal
(sumbu y). Penggal a mencerminkan nilai y pada kedudukan x = 0.
Kemiringan (slope) dari fungsi linier adalah sama dengan perubahan variabel terikat x dibagi dengan perubahan dalam variabel bebas y. Kemiringan juga disebut gradien yang dilambangkan dengan huruf m. jadi :

            ΔY              Y₂ – Y₁

Kemiringan = m =            atau

                        ΔX              X₂ – X₁

Sebagai contoh, y = 15 – 2x, kemiringannya adalah –2. Ini berarti bahwa untuk setiap kenaikkan satu unit variabel x akan menurunkan 2 unit variabel y.

        Y                                                           Y

          0                                      x                     0                                        x

(a)     kemiringan  positif                               (b) kemiringan negatif

 

         Y                                                                        Y

 

          0                                    X                     0                                       X

(c ) kemiringan nol                                                              (d) kemiringan tak tentu

2.2 Bentuk Umum Fungsi Linear

Y=a₀ + a₁X

Di mana a, tidak sama dengan nol.

Bentuk ini disebut sebagai bentuk kemiringan-titik potong (slope-intercept). Bentuk seperti ini bila dilihat dari letak kedua variabel X dab Y, maka bentuk ini dapat disebut sebagai eksplisit. Karena variabel bebas X dan variabel terikat Y saling terpisah oleh tanda sama dengan (=)

2.3 Menentukan Persamaan Garis

1.       Metode dua titik dan

                          Y

                                                                                                A (X₂, Y₂)

                                                                                A (X₁, Y₁)

                                                                A (X, Y)

 

0                                                                                                                                                        X

Carilah persamaan garis yang melalui titik (3, 2) dan (4,6)

Penyelesaian :

 X₁ = 3, X₂ = 4, Y₁ = 2, dan Y₂ = 6

                Y – Y₁      Y₂ – Y₁

X – X₁      X₂ – X₁

Y – 2          6 – 2

X – 3         4 – 3

Y – 2       =    (X – 3)

Y – 2       = 4 (X – 3)

Y              = 4 X – 12

 Y             = 4 X - 10

Persamaan garis Y = 4x - 10 ini grafiknya ditunjukkan oleh gambar 4.3.

         Y

Y=4X-10

                      1            2            3           X

                 5

                   (0,-10)

2.3.1 Metode Satu Titik dan Satu Kemiringan

Y – Y₁ = m (X – X₁)

Contoh

Carilah persamaan garis yang melalui titik (6, 4) dan kemiringannya -2/3

Penyelesaian :

Diketahui (X₁, Y₁) = (6, 4) dan m = - 2/3

            Y – Y₁ = m (X – X₁)

            Y – 4 = -2/3 (X – 6)

            Y = -2/3X + 4 + 4

            Y = -2/3X + 8

Persamaan garis Y = -2/3X + 8.

2.4 Hubungan Dua Garis Lurus

2.5 Penggal dan Lereng Garis Lurus

Fungsi linear atau fungsi berderajat satu ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu. Sesuai dengan namanya, setiap persamaan linear apabila digambarkan akanmenghasilkan sebuah garis, tegasnya garis lurus. Bentuk umum persamaan linear adalah y = a +bx, dimana a adalah penggal garisnya pada sumbu vertical –y, sedangkan b adalah koefisian arah atau lereng garis yang bersangkutan.penggal a mencerminkan nilai y pada kedudukan x = 0. Adapun lereng b mencerminkan besarnya tambahan nilai y untuk setiap tambahan satu unit x, juga mencerminkan tangent dari sudut yang dibentuk oleh garis –y dan sumbu –x.

a: penggal garis y= a + bx,   yakni nilai y pada x = 0

b: lereng garis, yakni

pada x = 0,

pada x = 1,     

pada x = 2,

lereng fungsi linear selalu konstan

Dalam kasus- kasus tertentu, garis dari sebuah persamaan linear dapat berupa garis horizontal sejajar sumbu- x atau garis vertical sejajar sumbu - y. Hal ini terjadi apabila lereng garisnya sama dengan nol, sehingga ruas kanan persamaan hanya tinggal sebuah konstanta yang melambangkan penggal garis tersebut.

y = a berupa garis lurus sejajar sumbu horizontal x, besar kecilnya nilai x tidak mempengaruhi nilai y

x = c berupa garis lurus sejajar subu vertikal y, besar kecilnya nilai y tidak mempengaruhi nilai x

2.6  Pembentukan Persamaan Linear

Pada prinsipnya persamaan linear bisa dibentuk berdasarkan dua unsur. Unsur tersebut dapat berupa penggal garisnya, lereng garisnya, atau koordinat titik- titik yang memenuhi persamaannya. Empat macam cara yang dapat ditempuh untuk membentuk sebuah persamaan linear

1.      Cara dwi- koordinat

2.      Cara koordinat- lereng

3.      Cara penggal- lereng

4.      Cara dwi- penggal

2.6.1        Cara Dwi – Koordinat

Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing- masing (x₁, y₁) dan (x₂, y₂), maka rumus persamaan linearnya adalah:

2.6.2        Cara Koordinat – lereng

Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x₁, y₁) dan lereng garisnya adalah b, maka rumus persamaan linearnya adalah:

              b = lereng garis

2.6.3        Cara Penggal Lereng

Sebuah persamaan linear dapat pula dibentuk apabila diketahui penggalnya pada salah satu sumbu dan lereng garis yang memenuhi persamaan tersebut.

y = a + bx                                           (a= penggal, b= lereng)

2.6.4        Cara Dwi Penggal

Sebuah persamaan linear dapat dibentuk apabila diketahui penggal garis tersebut pada masing- masing sumbu, penggal pada sumbu vertical (ketika x = 0) penggal pada sumbu horizontal (ketika y=0). Apabila a dan c masing-masing ádalah penggal pada sumbu- sumbu vertikal dan horizontal dari sebuah garis lurus, maka persamaan garisnya adalah :

a = penggal vertikal

b =penggal horizontal

Lereng sebuah garis lurus tak lain adalah hasil bagi selisih antara dua ordinat(y₂ – y₁) terhadap selisih antara dua absis (x₂ - x₁). Menurut cara dwi koordinat, rumus persamaan linear adalah :

 

Bila di uraikan :

 

2.7  Hubungan Dua Garis Lurus

Dalam sistem sepasang sumbu silang, dua buah garis lurus mempunyai empat macam kemungkinan bentuk hubungan yang :

·         Berimpit,

·         Sejajar,

·         Berpotongan

·         dan Tegak lurus.

 

Berimpit :

y₁ = ny₂

y₁ = a₁ + b₁x                                        a₁ = na₂

                                   y₂ = a₂ + b₂x                 b₁ = nb₂

 

                                                                                          

                                                                                           Sejajar :

                  y₁ = a₁ + b₁x                                                     a₁ ≠ a₂

                                                                                           b₁ = b₂

                                  y₂ = a₂ + b₂x

                                                                                          

 

                                               y₁ = a₁ + b₁x                        Berpotongan :

                                                               y₂ = a₂ + b₂x        b₁ ≠ b₂      

                                                                                               

 

                                                                                           Tegak Lurus :

 y₁ = a₁ + b₁x      b₁ = - 1/b₂

                                                            y₂ = a₂ + b₂x

 

2.8  Pencarian Akar – Akar Persamaan Linear

Pencarian besarnya harga bilangan- bilangan akar dari beberapa persamaan linear, dengan kata lain penyelesaian persamaan- persamaan linear secara serempak (simultaneously), dapat dilakukan melalui tiga macam cara :

ü  cara substitusi

ü  cara eliminasi

ü  cara determinan

2.8.1        Cara Substitusi

Dua persamaan dengan dua bilangan anu dapat diselesaikan dengan cara menyelesaikan terlebih dahulu sebuah persamaan untuk salah satu bilangan anu, kemudian mensubstitusikannya ke dalam persamaan yang lain.

Contoh : Carilah nilai variable- variable x dan y dari dua persamaan berikut:

2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23

untuk variabel x, diperoleh x = 23-4y

2x + 3y = 21

2(23 – 4y) + 3y = 21

46 – 8y + 3y = 21

46    – 5y = 21, 25 = 5y, y = 5

2.8.2        Cara Eliminasi

Dua persamaan dengan dua bilangan anu dapat diselesaikan dengan cara menghilangkan untuk sementara (mengeliminasi) salah satu dari bilangan anu yang ada, sehingga dapat dihitung nilai dari bilangan anu yang lain.

                                                                                          

                                                                                          

2.8.3        Cara Determinan

Cara determinan bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang jumlahnya banyak. Determinan secara umum dilambangkan dengan notasi

 

—  vAda 2 persamaan :

            ax + by = c

            dx + ey = f

—  Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan :

 

—  Contoh :

            2x + 3y = 21

            dx + 4y = 23

—  Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan :

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

a)      Kemiringan (slope) dari fungsi linier adalah sama dengan perubahan variabel terikat x dibagi dengan perubahan dalam variabel bebas y. Kemiringan juga disebut gradien yang dilambangkan dengan huruf m.

Dimana m =  =

b)      Bentuk umum fungsi linear adalah Y= a0+a1x di mana a, tidak sama dengan nol.Bentuk ini disebut sebagai bentuk kemiringan-titik potong (slope-intercept).

c)      Ada dua cara menentukan persamaan garis. Diantaranya adalah Metode Dua Titik dan Metode Satu Titik dan Satu Kemiringan.

d)     Hubungan dua macam garis lurus diantaranya adalah :

1.      Berpotongan

2.      Sejajar

3.      Berimpit

4.      Tegak lurus

e)      Bentuk umum persamaan linear adalah y = a +bx, dimana a adalah penggal garisnya pada sumbu vertical –y, sedangkan b adalah koefisian arah atau lereng garis yang bersangkutan.

f)       Empat macam cara yang dapat ditempuh untuk membentuk sebuah persamaan linearantara lain :

1.      Cara dwi- koordinat

2.      Cara koordinat- lereng

3.      Cara penggal- lereng

4.      Cara dwi- penggal

g)      Pencarian akar-akar persamaan linear dapat dilakukan melalui tiga macam cara yaitu:

1)      Cara eliminasi

2)      Cara subtitusi

3)      Cara determinan

    

DAFTAR RUJUKAN

Kalangi, Josep Bintang. 2015. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta: Salemba Empat.